Equações do Segundo Grau

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. 

Observe que o maior expoente da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau. (-5x²- 8x+3=0).

Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter        b = 0 e/ou c = 0.

Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa.

 A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos a = - 2, b = 3 e c = - 5, que são diferentes de zero.

- x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.

Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.

Veja este exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero. 

Obs. Toda equação completa do segundo grau apresenta os três coeficientes, a, b e c.

ax²  +bx + c = 0

2x² + 5× - 8 = 0          →            a = 2, b = 5 e c = - 8 

Resolução de equações do 2° grau

A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

 Fórmula Geral de Resolução

FÓRMULA DE BHÁSKARA

Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:

Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bháskara.

O valor b² – 4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ(DELTA).

Temos então que Δ = b² – 4 . a . c, o que nos permite escrever a fórmula geral de resolução.

Exercícios resolvidos (DETERMINE AS RAIZES DAS EQUAÇÕES ABAIXO):

 x² – 4x – 5 = 0

Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = – 4 e c = – 5.

 Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara:

Δ = (– 4)² – 4.1.(– 5)

Δ = 16 + 20         →        Δ = 36

x = – (– 4) ± √36

            2.1 

x = 4 ± 6

         2

x' =    4 + 6   = 10 = 5

               2           2

x'' = – 2     = – 1

           2

Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: – 1 e 5.

 4x² + 8x + 6 = 0

Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

 Δ = 8² – 4.4.6

Δ = 64 – 96

Δ = – 32

Como Δ < 0, a equação não possui raiz real.

 RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU

 x² - 5x + 6 = 0          (R: 2, 3)                                   2x² - 8x + 8 = 0        (R: 2,) 

x² - 8x + 12 = 0        (R: 2, 6)                                    x² + 2x - 8 = 0          (R: 2, -4)

x² - 5x + 8 = 0          (R: vazio) 

Discriminante da Equação do 2° Grau

O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau. 

Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b² - 4ac, isto é: Δ = b² - 4ac.

Discriminante menor que zero

Caso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois não existe raiz quadrada de números negativos em R:

Discriminante igual a zero

Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois x_{1 =} x₂:

Discriminante maior que zero

Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, uma positiva e outra negativa,

pois x₁ ≠ x₂.

                      
           Observe cada exemplo resolvido abaixo:

→ Cada asterisco substitui o sinal da multiplicação.

    

                RESOLUÇ

ÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS

 Resolver uma equação é determinar as suas soluções.

Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau.

 1° CASO – equações da forma ax² + c = 0 com (b = 0)

Exemplos:    

a)     x² - 25 = 0  →   x² = 25   →   x = ±√25    →   x₁ = 5   →   x₂ = - 5

    Logo, S = {+5 e -5}

 b)    2x² - 18 = 0    →   2x² = 18    →   x² = 18/2   →   x² = 9  →    x = ±√9  

→   x₁ = 3 → x₂ = - 3

    Logo, S = {-3 e +3}

 c)    7x² - 14 = 0    →    7x² = 14   →      x² = 14/7   →    x² = 2   →    x = ±√2

→    x₁ = √2     →        x_{2 = -} √2  

    Logo, S = {-√2 e +√2}

 d)    x² + 25 = 0     →  x² = -25     x = ±√-25    → Não existe raiz real

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a – 25.

 EXERCÍCIOS

 1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

x² - 49 = 0                  (R: -7 e +7)

x² = 1                         (R: +1 e -1)

2x² - 50 = 0                 (R: 5 e -5)

7x² - 7 = 0                   (R: 1 e -1)

5x² - 15 = 0                 (R: √3 e -√3)

5x² + 20 = 0                (R: vazio)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 com (c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero.

 Exemplos

1)    Resolva:

a)     x² - 5x = 0  →   fatorando x(x – 5) = 0

   → Deixando um dos fatores nulo temos x = 0  →   e o outro x – 5 = 0 , "passando" o 5 para o outro lado do igual temos x = 5   

Logo, S = {0 e 5}

 b)    3x² - 10x = 0   →  fatorando: x(3x – 10) = 0

 → Deixando um dos fatores nulo temos x = 0  →  Tendo também 3x – 10 = 0 →    3x = 10

 →   x = 10/3    

Logo S ={0 e 10/3}

    Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

EXERCÍCIOS

 Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a)    x² - 7x = 0        (R: 0 e 7)

b)    x² + 5x = 0       (R: 0 e -5)

c)    4x² - 9x = 0      (R: 0 e 9/4)

d)    3x² + 5x =0      (R: 0 e -5/3) 

Como determinar os coeficientes de uma equação do 2° grau

Exemplos:

1)    Calcule o valor de m na equação x²– 4x – m = 0, para que ela admita duas raízes reais e diferentes.

X² – 4x – m = 0

a = 1; b = – 4; c = – m

∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4 · 1 · (–m) = 16 + 4m ∆ = 16 + 4m

Para que essa equação tenha duas raízes reais e diferentes o valor de ∆ tem que ser maior do que zero (∆ > 0). Como

∆ = 16 + 4m, temos:

16 + 4m > 0

4m > –16

m > –16 

          4

m > –4

Para essa equação ter duas raízes reais diferentes, o valor de m tem que ser maior do que –4.

2)    Calcule o valor de k na equação x² – 10x + 5k = 0, para que ela admita duas raízes reais e iguais.

X² – 10x + 5k = 0

a = 1; b = –10; c = 5k

∆ = b² – 4ac = (–10)² – 4 · 1 · 5k = 100 – 20k                 

∆ = 100 – 20k, para termos raízes reais e iguais:

∆ = 0, então,

100 – 20k = 0

–20k = –100 (–1)

20k = 100

k = 100           →        k = 5

       20

3)    Calcule o valor de m na equação x² – 8x + (m + 1) = 0, para que ela não admita nenhuma raiz real.

x² – 8x + (m + 1) = 0

a = 1; b = – 8; c = m + 1

∆ = b² – 4.a.c = (–8)² – 4 · 1 · (m + 1)

= 64 – 4m – 4

∆ = 60 – 4m, para que ela não admita nenhuma raiz real:

∆ < 0, então,

60 – 4m < 0

–4m < –60 (–1)

    4m > 60 m > 60 

                          4

m > 15    No sinal da desigualdade; quando multiplicamos por - 1; o sinal muda de sentida

EXEMPLOS:

1 - Para que valores de m a equação x² – 4x + 2m = 0 possui duas raízes reais e diferentes?

∆ > 0

16 – 8m > 0

– 8m > –16    ( - 1 )

m < 16

        8

m < 2

2 -  Para que valores de m a equação 5x² + 10x – m = 0 possui duas raízes reais e iguais?

∆ = 0

100 + 20m = 0

20m = –100

m = –100

         20

m = – 5

3 - Calcule o valor de p na equação x² – 6x – p = 0, para que ela, não admita nenhuma raiz real;

∆ < 0

36 + 4p < 0

4p < –36

p < – 36

          4

p < – 9

Relações entre coeficientes e raízes de uma equação do 2° grau

Soma das raízes

X₁ + x₂ = –b    →      S = –b

                  a                      a 

 

Produto das raízes

x1 · x² = c       →        P = c

               a                         a

 

Exemplos: Determine a soma e o produto das raízes sem resolver a equação:

a)    3x² + 6x – 9 = 0

 

x₁ + x₂ = – b  = – 6  = –2        →        S = – 2

                            a         3

 

x₁ · x₂ = c  = – 9  = –3            →        P = – 3

                        a        3

 

b)    x² – 5x = 0

x₁ + x₂ = – b  = – (–5)    = 5  = 5         →        S = 5

                            a          1          1

 

           x₁ · x₂ =  c  = 0  = 0               →                    P = 0

                           a     1

 AGORA É COM VOCÊ:

Determine a soma S e o produto P das raízes das equações, sem resolvê-las:

a)    x² – 6x + 8 = 0

  

 b)    5x² + 10x – 20 = 0

 

c)    9x² – 18x = 0