MÚLTIPLOS, DIVISORES E NÚMEROS PRIMOS/DIVISIBILIDADE

Divisibilidade (Critérios )

Conceito – São regras matemáticas usadas no sistema de numeração, quando se deseja saber se um determinado número é divisível por outro, sem que haja necessidade de se efetuar a operação. Assim um número é divisível por:

Dois – quando ele for par. Ex: ( 10, 24, 326, 5.802 )

Três – Se a soma de seus algarismos ( valores absolutos ), formar um número divisível por 3. Ex.  69 = 6 + 9 = 15 e 15 é divisível por 3.

156 = 1 + 5 + 6 = 12 e 12 é divisível por 3.

2.790 = 2 + 7 + 9 + 0 = 18 e 18 é divisível por 3.

Quatro – Se o numeral formado pelos dois últimos algarismos da direita, formar um número divisível por 4, para números acima de 99. E ainda todos os terminados em zero, zero ( 112, 224, 1.208, 2.020, 100, 600, 800 ).

Cinco – São divisíveis por 5, todos os números terminados em zero ou em 5. (30, 200, 15, 2005).

Seis – Todos os números que são divisíveis por dois e três ao mesmo tempo.

Ex. ( 36, 84, 1452, 900 ).

Sete – Neste caso procede-se da seguinte forma:

1.       Separa-se o último algarismo da direita.

2.       Multiplica-se o resultado obtido por dois.

3.       Subtrai-se o resultado obtido do número constituído pelos números restantes, até encontrar um número divisível por sete. Caso contrario, o número em questão não é divisível por 7.

( 1351↔1X2 = 135 – 2 = 133↔3X2 = 6↔13 – 6 = 7 )

Oito – São divisíveis por 8, todos os terminados em zero, zero, zero. Acima de 999, basta verificar os três últimos algarismos da direita. Se os mesmos formarem um número divisível por 8, então o número em questão é divisível por oito.

Ex. ( 1016, 5.224, 2000, 6000 ).

Nove – São divisíveis por nove todos os números, cuja soma de seus algarismos (valores absolutos ), formar um número divisível por 9.

999 = 9 + 9 + 9 = 27 e 27 é divisível por 9.

234 = 2 + 3 + 4 = 9 e 9 é divisível por 9.

1800 = 1 + 8 + 0 + 0 = 9 e 9 é divisível por 9.

270 = 2 + 7 + 0 = 9 e 9 é divisível por 9.

Dez – São divisíveis por 10, todos os números terminados em zero.

                Múltiplos e Divisores de um Número Natural

Múltiplos – Devemos encontrar uma sequencia de números naturais que são múltiplos de um determinado número, iniciando-se por zero.

Ex. Determine os múltiplos de:

a)      M(2) = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...

b)      M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,....

c)       M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36,...

d)      M(5) = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,...

Divisores - Devemos encontrar todos os possíveis divisores de um determinado número, iniciando-se por 1.

Ex. Determine os divisores de:

a)      D(18) = 1, 2, 3, 6, 9, 18

b)      D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20

c)       D(12) = 1, 2, 3, 4, 6, 12

d)      D(25) = 1, 5, 25

e)      D(100) = 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

f)       D(36) = 1, 2, 3, 6, 9, 12, 18, 36

Números Primos

Conceito – São todos os números que apresentam como divisores apenas dois algarismos: a unidade e o próprio número.

Ex. 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

Tábua de Números Primos

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70

Como conhecer se um número é primo – Divide-se o número dado sucessivamente pelos números: 2, 3, 5 ,7 ,11,... Se nenhuma divisão for exata e resultar um quociente menor ou igual ao divisor, então, pode-se dizer que o número é primo.

Decomposição de um Número em Fatores Primos  – Divide-se o número dado pelo seu menor divisor primo (2, 3, 5, 7,...), em seguida divide-se o quociente obtido pelo seu menor divisor primo, e assim sucessivamente, até se obter quociente igual a 1.

Obs. Os números que apresentam mais de dois divisores são chamados de compostos.

Exemplos: 4. 6, 8, 9, 10, 12,... 

Máximo Divisor Comum – ( m.d.c.) – Máximo divisor comum de dois números é o maior divisor comum desses números

Obs. O símbolo , que se lê intersecção, significa elementos comuns aos dois conjuntos, ou seja, que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo.

Ex. D(9) = {  1, 3, 9 }  ;                                                                   D(6) ={ 1, 2, 3, 6 }     

D(9)  D(6) = 3; assim o m.d.c.(9,6) = 3

Obs. Número s Primos Entre Si – dois ou, mais números são primos entre si quando o m.d.c. deles é 1.

ATIVIDADES DE FIXAÇÃO

QUESTÃO 01 (Descritor: estabelecer uma conclusão baseando-se nas definições de divisores e múltiplos de um número natural e números primos). 

Quatro alunos do 6º ano de uma escola, em uma aula de matemática, fizeram as seguintes afirmativas:

 Analisando atentamente a afirmativa de cada aluno, marque a opção CORRETA. 

a) Somente a aluna I e o aluno III formularam afirmativas corretas. 

b) Apenas o aluno II cometeu erro em sua afirmativa. 

c) As afirmativas de todos os alunos estão corretas. 

d) Apenas as afirmativas feitas pelos alunos III e IV são corretas.  

QUESTÃO 02 (Descritor: utilizar critérios da divisibilidade para solucionar o problema proposto.) 
Um determinado número é composto de três algarismos. O algarismo das unidades é 2 e o das centenas é 5. Marque a opção que representa a soma dos possíveis valores que pode assumir o algarismo das dezenas para que esse número seja divisível por 3. 

a) 7                             
b) 10                      
c) 13                            
d) 15 

QUESTÃO 03 (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando critérios de divisibilidade por 2, 3 e 5.) 
Marque a opção que apresenta, corretamente, a soma dos algarismos do menor número de dois algarismos que se deve colocar à direita do número 356, para que ele seja divisível por 2, 3 e 5. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4

QUESTÃO 04 (Descritor: resolver problemas envolvendo critérios de divisibilidade dos números naturais.) 
Paula e Gabriel brincavam propondo desafios um para o outro, enquanto estudavam os critérios de divisibilidade utilizados para os números naturais. A seguir temos o desafio proposto por Paula: 

Gabriel, um aluno aplicado, respondeu corretamente. Marque a opção que representa a resposta dada por ele à Paula. 
a) 5 
b) 13 
c) 21 
d) 29 
QUESTÃO 05 (Descritor: utilizar o conceito de números primos para resolver o problema proposto.) 
Analise as afirmativas feitas por quatro alunos, em uma gincana de matemática. 
Aluno I - Existe um único número que é par e primo ao mesmo tempo. 
Aluno II - O número 1 é classificado como número primo. 
Aluno III - Todos os números ímpares são primos. 
Aluno IV - Entre 30 e 40 existem dois números primos. 
Marque a opção CORRETA relacionada à veracidade das afirmativas feitas pelos alunos acima. a) As afirmativas dos alunos I e IV são verdadeiras. 
b) Apenas o aluno III formulou uma afirmativa falsa. 
c) Todas as afirmativas feitas pelos quatro alunos são verdadeiras. 
d) Apenas o aluno IV formulou uma afirmativa verdadeira. 

QUESTÃO 06 (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando o processo de decomposição de um número natural em fatores primos.) 
Observe a seguinte decomposição em fatores primos do número representado pela letra A, proposta pelo professor de matemática, como exercício para os alunos da 5ª E.F. Marque a opção que apresenta, corretamente, o número que corresponde ao valor atribuído à letra (A, B ou C) para que a fatoração fique correta. 

a) C = 15 

b) B = 25 

c) A = 225 

d) A = 215

QUESTÃO 07 (Descritor: utilizar o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum envolvendo números naturais para escolher uma possibilidade correta dentre outras descritas no problema.) 

Paulo saiu de carro para uma viagem de 400 quilômetros por uma estrada que, a cada 40 quilômetros, há um posto de serviços com combustíveis e restaurante. Acontece que o carro está com sério problema de superaquecimento, o que requer paradas de 30 em 30 quilômetros para encher o radiador com água fria contida em um galão que Paulo leva dentro do carro. 

De acordo com o enunciado acima, podemos afirmar, corretamente, que: 

a) Paulo poderá parar no máximo 13 vezes durante sua viagem para utilizar os postos de serviços. b) Serão necessárias 10 paradas para que Paulo possa colocar água no radiador do seu carro. 

c) Durante a viagem, Paulo nunca poderá colocar água no radiador em postos de serviços. 

d) Das paradas necessárias para colocar água no radiador, 3 poderão ser feitas em postos de serviços. 

QUESTÃO 08 (Descritor: determinar a solução de um problema utilizando cálculo do máximo divisor comum de dois números naturais.) 

Leia atentamente a seguir a exposição feita por uma professora de matemática e as afirmativas feitas por alguns de seus alunos.

Marque a opção que apresenta o nome do aluno 

(a) que formulou uma afirmativa correta de acordo com a exposição feita pela professora. a) Ana Cláudia 

b) Felipe 

c) João Gabriel 

d) Daniele  

QUESTÃO 09 (Descritor: classificar um número a partir da soma de todos os seus divisores naturais com exceção dele mesmo.) 

O número é uma invenção tão antiga quanto a própria escrita. Ele surgiu com a necessidade dos homens na luta diária pela sobrevivência e passou, ao longo dos séculos, por um grande aperfeiçoamento. 

Na antiguidade, como não compreendiam ainda muito bem o que era o número, os matemáticos atribuíram a ele propriedades mágicas e misteriosas. Assim existiam números perfeitos, excessivos, deficientes, amigos, triangulares etc. 

Um número era classificado como: 

Deficiente: se a soma dos seus divisores, com exceção dele próprio, fosse menor que ele Excessivo: se a soma dos seus divisores, com exceção dele próprio, fosse maior que ele Perfeito: se a soma dos seus divisores, com exceção dele próprio, fosse igual a ele: 

a) DETERMINE o conjunto de todos os divisores naturais dos números 60, 496 e 63. 

b) Baseado nas informações acima, CLASSIFIQUE como deficiente, excessivo ou perfeito os números do item a (60, 496 e 63). 

QUESTÃO 10 (Descritor: resolver o problema proposto utilizando o cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C - entre dois números naturais.) Roberto foi ao médico, que receitou a ele os seguintes medicamentos:

 Sabendo que Roberto tomou ontem, às 19 horas, esses dois medicamentos, CALCULE os itens a seguir: 

a) Depois de quanto tempo (intervalo mínimo possível) ele vai tomar os dois remédios juntos? 

b) A que horas, após às 19 horas, ele vai tomar os dois remédios simultaneamente?

QUESTÃO 11 (Descritor: determinar a solução da cruzadinha apresentada, utilizando a determinação de múltiplos, divisores e números primos de números naturais.) 

QUESTÃO 12(Descritor: efetuar cálculos envolvendo o Máximo Divisor Comum - M.D.C - entre números naturais, com a finalidade de solucionar o problema apresentado.) 

Uma distribuidora de sucos vendeu 120 garrafas de suco de laranja e 70 garrafas de suco de uva para um supermercado. Para fazer a entrega, a distribuidora vai colocar as garrafas em caixas, de maneira que todas tenham a mesma quantidade de garrafas do mesmo tipo de suco e o maior número delas possível em cada. 

a) CALCULE quantas garrafas vão ser colocadas em cada caixa. 

b) CALCULE quantas caixas de suco de laranja e quantas caixas de suco de uva o supermercado receberá. 

QUESTÃO 13 (Descritor: determinar o valor da incógnita x utilizando cálculos de m.m.c e m.d.c entre dois números naturais) Siga a trilha a seguir e CALCULE o valor da incógnita x.

QUESTÃO 14 (Descritor: obter o conjunto de múltiplos de um número natural e, a partir desse conjunto, resolver o problema proposto.) 

Marcelo coleciona bolinhas de gude. Com algumas delas ele formou uma sequência. Observe as três primeiras figuras dessa sequência.

a) DESENHE a 4ª e a 5ª figura dessa sequência e REGISTRE a quantidade de bolinhas que existe em cada uma delas. 

b) ESCREVA qual a propriedade comum de todos os números que pertencem à sequência formada por Marcelo. 

c) CALCULE quantas bolinhas existem na centésima figura, sem desenhá-las. REGISTRE o raciocínio utilizado para esse cálculo. 

Questão 15  Um pai e um filho são pescadores. Cada um tem um barco e ambos vão para o mar no dia 12 de fevereiro de um ano bissexto. O pai volta para casa a cada 20 dias e o filho a cada 15 dias. 

Resolva cada item a seguir. 

a) Calcule de quantos em quantos dias o pai se encontrará com seu filho em casa. 

b) Calcule o próximo dia e mês que ambos se encontrarão em casa pela primeira vez. 

QUESTÃO 16 (Descritor: associar os divisores do número 24 ao problema apresentado) 

Quando você vai ao médico e ele lhe receita um medicamento para ser ingerido mais de uma vez ao dia, durante um certo período, geralmente indica intervalos de: 

•    6 em 6 horas... 

•    8 em 8 horas... 

•  12 em 12 horas... 

O médico geralmente não indicaria, por exemplo um intervalo de 5 em 5 horas, 7 em 7 horas ou de 9 em 9 horas. 

Escreva a explicação para esse fato utilizando argumentos matemáticos. 

QUESTÃO 17 (Descritor: efetuar cálculos envolvendo o Máximo Divisor Comum - M.D.C - entre números naturais com a finalidade de solucionar o problema apresentado) 

A Escola “Vivendo e Aprendendo” resolveu construir um teatro. O Arquiteto responsável pela obra fez a seguinte representação ( Planta Baixa ) de acordo com os dados fornecidos pela escola. 

Esse teatro possuirá três setores para acomodar o público: 

Setor A: de frente para o palco com 135 poltronas 

Setor B: na lateral direita do palco, com 105 poltronas 

Setor C: Na lateral esquerda do palco, com 90 poltronas. 

O número de poltronas por fileira será o mesmo nos três setores e esse número deve ser o maior possível. 

Calcule quantas fileiras de quantas poltronas haverá em cada Setor.

QUESTÃO 18 (Descritor: aplicar o conceito de ano bissexto e critério de divisibilidade de um número natural por quatro)

. 

Leia o pequeno parágrafo a seguir: 

“ Que a Copa do Mundo de 2014 será no Brasil, todos sabem. Mas poucos têm conhecimento de algo que poderá mudar a história do futebol a partir deste Mundial: a construção de estádios ecológicos, as chamadas eco arenas (construções realizadas de forma a causar o menor impacto ambiental possível). 

Vai ser esta a identidade adotada pelos arquitetos da Copa - 14, que terá, como um dos principais enfoques, o desenvolvimento com respeito ao meio ambiente".

Marque a afirmativa CORRETA relativa ao ano citado no texto anterior. 

a) 2014 é bissexto, porque o número que o representa é um número divisível por dois. 

b) 2014 é bissexto, porque o número que o representa é um número divisível por seis. 

c) 2014 não é bissexto, porque o número que o representa não é um número divisível por quatro. 

d) 2014 não é bissexto, porque o número que o representa não é um número divisível por seis.

QUESTÃO 19(Descritor: calcular o mínimo múltiplo comum de dois números naturais) 

Observe a figura a seguir. Nela os planetas Júpiter e Saturno completam uma volta em torno do Sol

em aproximadamente 12 e 30 anos terrestres, respectivamente. 

Supondo que, em certo momento, suas posições sejam como as apresentadas na figura, ou seja, os planetas estejam lado a lado, marque a opção CORRETA.            

a) Após Júpiter completar 6 voltas, sua posição em relação a Saturno será a mesma da figura apresentada. 

b) De 6 em 6 anos, Júpiter e Saturno se encontrarão na mesma posição representada pela figura. 

c) Quando Saturno percorrer 5 voltas completas, ele estará novamente lado a lado com Júpiter. 

d) Os planetas Júpiter e Saturno só voltarão a ficar nas posições apresentadas na figura após 60 anos. 

QUESTÃO 20 (Descritor: determinar a quantidade de divisores de um número natural)

Na gincana promovida em uma escola, uma das diversões era um campeonato de arremesso de dardos.

Observe o alvo utilizado com a pontuação referente a cada região do círculo. 

Regras do Jogo: 

•  O dardo que não atingir uma dessas três regiões será considerado zero. 

 Cada participante terá direito a três arremessos. 

•  O ponto final de cada participante será a soma dos pontos de cada arremesso. 

•  Será considerado vencedor o aluno cuja pontuação final possuir maior quantidade de divisores. 

A seguir, temos os alvos marcando os três arremessos de quatro alunos participantes

a) Laura

 

b) Rodrigo

c) Alexandra

d) Felipe

QUESTÃO 21 (Descritor: aplicar conceitos de divisores, números primos e números compostos)

Leia atentamente as seguintes afirmativas e assinale a CORRETA. 
a) Um número natural é considerado número primo se for divisível por 1 e ele mesmo. 
b) O número natural que possui mais de dois divisores pode ser classificado como composto. 
c) O conjunto dos divisores de todos os números naturais é um conjunto finito. 
d) Não é possível calcular o M.D.C dos números naturais 23 e zero. 

QUESTÃO 22 (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando máximo divisor comum de dois números naturais) Voltando do intervalo reservado para recreação, os alunos do 6º ano devem subir um lance de escada de 30 degraus para que alcancem o andar onde está situada a sala de aula correspondente a essa turma. 
Dois alunos, Rubinho e Daniel, começam a subir a escada do primeiro degrau. Rubinho resolve então subir essa escada de 3 em 3 degraus e Daniel de 2 em 2 degraus. 
Marque a afirmativa CORRETA relativa à situação apresentada. 
a) Rubinho e Daniel pisarão em cinco degraus em comum, mas não chegarão no 30º degrau juntos. b) Rubinho e Daniel pisarão no 30º degrau, logo irão gastar o mesmo tempo para subir a escada.
c) Rubinho pisará no 23º degrau, mas Daniel não pisará nesse degrau porque 23 não é divisível por 2. 
d) Somente Daniel pisará no 18º degrau, porque 18 é um número par sendo, portanto, divisível por 2. 

QUESTÃO 23 (Descritor: utilizar o conceito de divisores e múltiplos naturais de um número para solucionar o problema proposto) 
Imagine a seguinte situação: 
Você está em um labirinto e precisa encontrar a saída. Atenção! Esse labirinto não é um labirinto qualquer. 
Existem regras para que você possa caminhar: 

Questão 24: Ir de um número para um de seus múltiplos; desse número , para um de seus divisores; desse último para um dos seus múltiplos e assim sucessivamente. 

Tendo achado o caminho, escreva a sequência de números resultantes a partir do ponto em que você estava até a saída.    

                                                             '                                    

Qual foi a sequência encontrada:

ATIVIDADES RESOLVIDAS

---

Questão 1. O que é um número primo? Um número primo é um número que:

a) Possui exatamente dois múltiplos, o 1 e ele próprio.

b) Possui exatamente dois divisores, o zero e ele mesmo.

c) É divisível por exatamente dois números, o 1 e ele próprio.

Questão 2. O que é um número composto? Um número composto é um número que:

a) Tem mais de dois divisores

b) tem mais de dois múltiplos, sendo o 1 um deles.

c) tem mais de dois divisores, sendo o zero um deles..

Questão 3. Sobre o número 1, é correto afirmar que:

a) é o menor número primo que existe.

b) é o menor número composto que existe.
c) não é número primo nem composto.

Questão 4. Sobre o número 2, é correto afirmar que:

a) é um número composto, pois é divisível por 2.

b) é o único número natural par que é primo.
c) é um número primo, pois é o menor número par maior que 1.

Questão 5. O maior número primo que existe é:

a) 997

b) não é possível determinar o maior número primo.

c) 1000

Questão 6. Sobre os múltiplos de um número primo, podemos afirmar que:

a) são exatamente dois.

b) são mais que dois.
c) são infinitos.

Questão 7. Quando multiplicamos um número primo por um número composto, obtemos como resultado um número:

a) primo, pois todos os múltiplos de um número primo são números primos também.

b) composto, pois todos os divisores do número composto serão divisores do número resultante.
c) primo, pois será divisível apenas por dois números, aqueles que multiplicamos.

Questão 8. Sabendo que 33 = 3 . 11, podemos afirmar que 33:

a) é um número primo, pois corresponde ao produto de dois números primos.

b) é um número primo, pois seus únicos divisores são 3 e 11, que são números primos.
c) é um número composto, pois podendo ser fatorado como o produto de números primos, terá mais de dois divisores.

Questão 9. Sabendo que 54 = 2 . 3³, então, podemos afirmar que:

a) 54 possui apenas dois divisores primos, o 2 e o 3.

b) Os únicos divisores de 54 são 2 e 3, então, 54 é um número primo.
c) 54 é um número composto, pois é divisível exatamente por três números: 1, 2 e 3.

Questão 10. O número de divisores primos de 200 é:

a) 2

b) 5
c) 12

Resolução da questão 1

Um número primo é um número que é divisível por exatamente dois números, o 1 e ele próprio.

Alternativa correta: c

Resolução da questão 2

Um número composto é um número que tem mais de dois divisores.

Alternativa correta: a

Resolução da questão 3

Sobre o número 1, é correto afirmar que não é um número primo e nem composto.

Não é primo por ter um único divisor, que é ele mesmo, e não é composto por ter menos de dois divisores.

Alternativa correta: c

Resolução da questão 4

Sobre o número 2, é correto afirmar que é o único número natural par que é primo.

Alternativa correta: b

Resolução da questão 5

Não é possível determinar o maior número primo.

Alternativa correta: b

Resolução da questão 6

Sobre os múltiplos de um número primo, podemos afirmar que são infinitos.

Alternativa correta: c

Resolução da questão 7

Quando multiplicamos um número primo por um número composto, obtemos como resultado um número composto, pois todos os divisores do número composto serão divisores do número resultante.

Alternativa correta: b

Resolução da questão 8

Sabendo que 33 = 3 . 11, podemos afirmar que 33 é um número composto, pois podendo ser fatorado como o produto de números primos, terá mais de dois divisores.

Alternativa correta: c

Resolução da questão 9

Sabendo que 54 = 2 . 3³, então, podemos afirmar que 54 possui apenas dois divisores primos, o 2 e o 3.

Alternativa correta: a

Resolução da questão 10

O número de divisores primos de 200 é 2, pois 200 = 2³. 5².

Alternativa correta: a

Assista aos vídeos abaixo para melhor fixação dos assuntos:

Números Primos

Múltiplos e Divisores

Divisibilidade

BONS ESTUDOS E SUCESSO!!!