POTÊNCIAS, RAÍZES E EXPRESSÕES NUMÉRICAS

 POTENCIAÇÃO – DEFINIÇÃO

É o produto de fatores iguais ao  próprio número. Isto é, é o produto de bases iguais segundo o expoente.

A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. 

ELEMENTOS DA POTENCIAÇÃO:

    

Onde “a” é a base; “n” é o expoente e “b” é a potência.

a)  = x . x                                                                                                c)  = 2 . 2 . 2 = 8

b)  = a . a . a                                                                                            d)  = 3 . 3 = 9

Propriedades das Potências

Produto de bases iguais 

•       Conservamos a base comum e adicionamos os expoentes.

Obs. Quando o expoente não está expresso, consideramos o mesmo como sendo o algarismo 1.

Obs. Quando o expoente é 2, lê-se quadrado e quando é 3, lê-se cubo.

Obs. A potenciação é a operação inversa da radiciação.

Quociente de bases iguais  

•       Conservamos a base comum e subtraímos os expoentes.

Potência de Potência

Mantemos a base e multiplicamos os expoentes.

Produto de bases diferentes

Elevamos ambas as bases ao expoente indicado.

Quocientes de bases diferentes  

Elevamos ambas as bases ao expoente indicado.

Casos particulares das potências

Expoente zero ↔ Todo e qualquer número natural, não-nulo, elevado ao expoente zero, tem como resultado 1.

Expoente 1 ↔ Todo e qualquer número elevado ao expoente 1, tem como resultado a própria base.

Base 10 ↔ Conserva-se o algarismo 1, seguidos de tantos zeros, conforme seja o expoente.

Radiciação – É a operação que consiste em calcular a raiz de uma determinada quantidade. É a operação inversa da potenciação.

Raiz – É o resultado da operação chamada radiciação.

Obs. Quando o índice está oculto consideramos que ele vale dois, isto porque a raiz chama-se quadrada. A de índice 3 é chamada de cúbica.

Obs. As radiciações podem apresentar diversos índices, por exemplo:

4 é raiz quarta  /  5 raiz quinta  / 6 raiz sexta,....

Expressões Numéricas  

Resolve-se: parênteses, colchetes e chaves (simbologias), na ordem que estiverem.

•  Nas operações, primeiro: potências e raízes, depois multiplicação e divisão e por ultimo adição e subtração, também  na ordem que estiverem.

Vejamos alguns exemplos:

{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 → Inicialmente devemos resolver os parênteses, mas como dentro dos parênteses há subtração e multiplicação, vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida, resolvemos a subtração.

{100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5

{100 – 413 x (20 – 20) + 25} : 5

{100 – 413 x 0 + 25} : 5

Agora que não temos mais os parênteses, vamos resolver as chaves. Dentro das chaves há subtração, multiplicação e adição, portanto, vamos resolver a multiplicação primeiro, em seguida resolvemos a subtração e a adição, seguindo a ordem em que aparecem.

{100 – 413 x 0 + 25} : 5

{100 – 0 + 25} : 5

{100 + 25} : 5

125 : 5

25

Portanto, o resultado da expressão {100 – 413 x (20 – 5 x 4) + 25} : 5 é 25.

Vamos resolver outra expressão:

27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 4 x 2) + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 8) + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [100 : 10 + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x [10 + 7] } : 13

27 + {14 + 3 x 17 } : 13

27 + {14 + 51} : 13

27 + 65 : 13

27 + 5

32

Então o resultado da expressão 27 + {14 + 3 x [100 : (18 – 4 x 2) + 7] } : 13 é 32.

EXERCICÍOS RESOLVIDOS SOBRE POTÊNCIAS E RAIZES:

1) Sendo 4³ = 64, responda:

     a) Quem é a base?

     b) Quem é o expoente?

     c) Quem é a potência?

(R: a) 4   b) 3    c)  64

2) Escreva na forma de potência:

 a) 5 x 5

 b) 3 x 3 x 3

 c) 7 x 7 x 7

 d) 2 x 2 x 2 

 e) a x a x a 

       R: a) 5²   b) 3³   c) 7³   d) 2³     e) a³)

3) Calcule as potências:

 a) 2³

 b) 4²

 c) 5⁴

 d) 0⁵

 e) 1⁶

 f) 3⁰

 g) 4⁰

 h) 6²

 i) 24¹

 j) 67⁰

(R: a) 8  b) 16  c) 625  d) 0   e) 1   f)1   g)1   h)36   i) 24    j) 1)

4) Sendo x = 2, y = 3 e z = 4, calcule:

 a) x²

 b) y³

 c) z⁵

 d) x^y

 e) y^x

 f) x^z

 g) 3^x

 h) 4^z

 i) 5^y

^{(R: a) 4  b)27  c)1024  d)8  e)9  f)16  g)9  h)256  i)125)}

5 )Calcule:

 a) O quadrado de 11

 b) O cubo de 7

 c) O quadrado de 8

 d) A quinta potência de 2

(R: a) 121  b)343  c) 64  d) 32)

6)Quem é maior?

 a) 2³ ou 3²

 b) 1¹²⁰ ou 120¹

 c) 56⁰ ou 0⁵⁶

(R: a) 3²= 9   b)120¹=120  c)56 elevado a zero= 1)

7 )Calcule:

 a) 3.10²

 b) 5.3⁴

 c) 7.4³

(R: a)300   b)405  c)448)

8) Transforme os produtos indicados, em potência:

    a) 5.5.5 =

    b) 7.7 =

    c) 8.8.8 =

    d) 1.1.=

    e) 6.6.6 =

    f) 2.2.2.=

    g) 45.45=

    h) 68.68.68=

    i) 89.89.89 =

   (R:a)5³  b)7²  c)8³  d)1²  e)6³  f)2³  g)45²  h)68³  i)89³)

9) Transforme em produto, as potências:

    a) 4² =

    b) 5³ =

(    R:a) 4.4     b) 5.5.5)

10)Escreva como se lê:

    a) 4² =

    b) 5³ =

(R: a)quatro elevado ao quadrado   b) cinco elevado ao cubo)

11) Resolva e dê a nomenclatura:

     4² =

Base =

Expoente =

Potência =

(R: 16  base=4, expoente=2 e potência= 16)

12) Na potenciação sempre que a base for 1 a potência será igual a: (R: 1)

13) Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual à: (R: 1)

14) Qual o resultado de 4³ ? (R: 64)

15) Todo número natural elevado a 1 é igual a _______________ (R: a própria base)

16) Escreva as potências com os números naturais e depois resolva-as:

a) Dezesseis elevado ao quadrado

b) Cinquenta e quatro elevado à primeira potência

c)Zero elevado à décima primeira potência

d) Um elevado à vigésima potência

e) Quatorze elevado ao cubo

f) Dois elevado à nona potência

g) Três elevado à quarta potência

h) Dez elevado à sexta potência

i) Oitenta e cindo elevado a zero

j) Dois mil e quarenta e seis elevado à primeira potência

(R: a)16²= 256  b)54¹=54  c)0¹⁰=o  d)1²⁰ =1 e)14³=2744  f)2⁹=512  g)3⁴=81  h) 10⁶=1 000 000  i)85⁰=1  j)2046¹=2046

17) Simplifique as expressões numéricas :

a) 5 + 3². 2=

b) 7² - 4. 2 + 3 =

c) 10² - 3² + 5=

(R:a)23  b)44 c)96)

1) VAMOS RESOLVER AS RADICIAÇÕES ABAIXO?

2)  Uma quadra de esportes  quadrada será construída com placas de concreto, foram utilizadas 144 placas ao total. Quantas placas foram utilizadas na largura da quadra?

√144 = 12 à  12 placas

3) Um terreno quadrado tem 324 m² de área. Quanto mede o lado do terreno?    √324 = 18 à o lado mede 18 metros

4) Se um terreno quadrado tem 900 m² de área. Quantos metros mede o seu perímetro? (PERÍMETRO É A SOMA DAS MEDIDAS DE TODOS OS LADOS DA FIGURA).

O lado √900 = 30  Então como o quadrado tem 4 lados P = 30 + 30 + 30 + 30 = 120 m

5) Seu João deseja cercar um terreno quadrado de área de 484 m², sem porteira e pretende colocar 6 voltas de arame farpado e precisa saber quantos metros de arame vai usar, ajude-o a encontrar:

√484 = 22 lado         P = 22 + 22 + 22 + 22 = 88 x 6 = 528 metros de arame

6) Qual será a área, em m²,de um terreno com o triplo da medida do lado de um quadrado que mede 289 m²?

√289 = 17 à 3 x 17 = 51 lado à 51² = 51 x 51 = 2.601 m²

7) Escreva na forma de potencia e de raiz:

Observe que os quadrados perfeitos são infinitos...

ATIVIDADES RESOLVIDASSOBRE EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Questão 1 - Calcule o valor numérico da expressão [(18 + 3 · 2) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6.

Resposta

A ordem em que uma expressão deve ser calculada é a seguinte: primeiro as operações dentro dos parênteses; depois, dentro dos colchetes e, por fim, dentro das chaves. Quanto às operações, o correto é realizar primeiramente as multiplicações e divisões e, posteriormente, as adições e subtrações. Portanto:

[(18 + 3 · 2) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6

[(18 + 6) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6

[(24) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6

Quando sobrar apenas um número dentro dos parênteses, colchetes ou chaves, elimine essas marcações.

[(24) ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6

[24 ÷ 8 + 5 · 3] ÷ 6

[3 + 15] ÷ 6

[18] ÷ 6

18 ÷ 6

3

Logo, o valor numérico dessa expressão é 3.

Questão 2 - Calcule o valor numérico da expressão

{[(8 · 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) · 3] · 2 – (19 – 7) ÷ 6} · 2 + 12.

Resposta

Primeiramente, devem ser calculadas as operações dentro dos parênteses. Mesmo dentro dos parênteses, a ordem correta de operações é multiplicação e divisão, depois adição e subtração.

{[(8 · 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) · 3] · 2 – (19 – 7) ÷ 6} · 2 + 12

{[(32 + 3) ÷ 7 + (3 + 3) · 3] · 2 – (12) ÷ 6} · 2 + 12

Agora realizaremos as somas dentro dos parênteses e eliminaremos os parênteses desnecessários.

{[(32 + 3) ÷ 7 + (3 + 3) · 3] · 2 – (12) ÷ 6} · 2 + 12

{[35 ÷ 7 + 6 · 3] · 2 – 12 ÷ 6} · 2 + 12

Eliminados os parênteses, partiremos para os cálculos dos colchetes:

{[35 ÷ 7 + 6 · 3] · 2 – 12 ÷ 6} · 2 + 12

{[5 + 18] · 2 – 12 ÷ 6} · 2 + 12

{[23] · 2 – 12 ÷ 6} · 2 + 12

{23 · 2 – 12 ÷ 6} · 2 + 12

Sem colchetes, realizaremos as operações presentes nas chaves, respeitando a ordem de operações:

{23 · 2 – 12 ÷ 6} · 2 + 12

{46 – 2} · 2 + 12

{44} · 2 + 12

44 · 2 + 12

Basta finalizar a expressão respeitando apenas a ordem entre as operações.

44 · 2 + 12

88 + 12

100

O valor numérico da expressão é 100.

Questão 3 - (UNAERP SP/2006) Analisando as expressões:

I. [(+2)(– 3/4):(–2/3)]

II. (+2–3+1):(–2+2)

III. (+4–9):(–5+3)

IV. (2–3+1):(–7)

podemos afirmar que zero é o valor de:

a) somente I, II e IV

b) somente I e III

c) somente IV

d) somente II e IV

e) somente II

Resposta

Para resolver essa questão, é necessário resolver antes todas as expressões numéricas presentes.

I: [(+2)(–3)]:(–2)

          4     3

(–6):(–2)

  4    3 

(–6) · 3 

  4   –2

18

 8

Como 18 divido por 8 é um número próximo de 2, então a expressão I é diferente de zero.

II: (+2 – 3 + 1):(–2 + 2) = 0:0

Como não é possível dividir números por 0, então 0:0 não existe e, por isso, a expressão é diferente de zero.

III: (+ 4 – 9):(– 5 + 3) = (– 5):(– 2) = 2,5

2,5 é diferente de zero.

IV: (2 – 3 + 1):(–7) = 0:(–7) = 0

Essa expressão é a única que tem 0 como resultado, portanto, a resposta certa é a letra C.