CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: FRACIONÁRIOS E DECIMAIS

CONJUNTO DOS NÙMEROS RACIONAIS/ FRAÇÕES

Conceito - Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração, porém a partir destes podemos escrever a forma decimal, como veremos mais adiante:

Representação

Número Fracionário/Fração

A ideia de número fracionário

Para exprimirmos o número de elementos de um conjunto finito, empregamos um só número natural.

Para expressarmos, matematicamente uma parte ou algumas partes iguais de um todo, vamos usar um par ordenado de números naturais.

a) O primeiro número indica quantas partes tomamos do inteiro.

b) O segundo número indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

Observando os exemplos dados, expresse qual fração da figura toda é a parte colorida:

Respostas:

É interessante considerar a representação decimal de um número racional que se obtém dividindo a por b.

Por exemplo.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Utilizamos frações para indicar partes iguais de um inteiro.

 Exemplos: No círculo abaixo:

Indica-se a parte hachurada (pintada) na figura, como três partes em quatro da unidade ou  (lê-se: três quartos), onde:

O 3 é chamado de numerador;

O 4 é chamado de denominador;

O numerador e o denominador são os termos da fração.

No exemplo acima, a segunda fração foi obtida multiplicando o numerador e o denominador por 3 e a terceira fração foi obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da primeira fração por 4.

Portanto, quando o numerador e denominador de uma mesma fração são multiplicados ou divididos por um mesmo número positivo, obtém-se uma fração equivalente à fração original.

Simplificação de frações

Podemos multiplicar ou dividir os termos de uma fração por um mesmo número (diferente de zero) e a nova fração resultante será equivalente à fração original.

A fração equivalente obtida após todas as simplificações possíveis é também chamada de fração irredutível.

Exemplos:

Resolução:

Encontre a forma irredutível de cada uma das frações abaixo

Adição e subtração de frações

Frações com denominadores iguais

Ao somar ou subtrair frações com denominadores iguais, somam-se ou subtraem-se os numeradores das frações, mantendo-se os denominadores.

Exemplos:

1 - Efetue as operações e apresente a resposta na forma simplificada.

Frações com denominadores diferentes

Ao somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador, através do cálculo do mínimo múltiplo comum (m.m.c.).

As frações obtidas com o mesmo denominador deverão ser equivalentes as primeiras, e poderão então ser somadas ou subtraídas.

 Exemplos:

1 - Efetue as operações e apresente a resposta na forma simplificada:

Multiplicação de frações

O produto de duas frações é uma nova fração, onde seu numerador é o produto dos numeradores e, o seu denominador é o produto dos denominadores.

Observando que, quando possível, podemos simplificar os termos das frações antes de efetuar as multiplicações.

De uma forma resumida, multiplicamos numerador com numerador e, denominador com denominador e, simplificamos sempre que possível.

Exemplos:

1 - Efetue as operações e apresente a resposta na forma simplificada.

Fração de fração

 Para determinarmos uma fração de outra fração, efetuamos o produto entre ambas.

Exemplos:

1 – determine as frações de frações abaixo:

Divisão de frações

Quando temos divisões de duas frações basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplos:

Os números decimais (números com vírgulas) e os números naturais são escritos, todos eles, no sistema posicional. Por isso, os cálculos efetivados com os números decimais são parecidos com os que você conhece para os naturais.

Observe um exemplo de adição:

Note que somamos milésimos com milésimos, centésimos com centésimos, décimos com décimos e assim por diante.

 Veja o exemplo de uma subtração: 7 – 3,33

Multiplicação

Para efetuar multiplicações de números decimais, também recorremos às multiplicações de números naturais.

 Veja o exemplo de uma multiplicação: 1,3 x 0,25

Multiplicamos os dois números sem considerar as vírgulas, como se fossem números inteiros.

Colocamos a vírgula no final. Os fatores têm juntos, três casas decimais. O produto terá três casas decimais.

Divisão

Para dividir decimais usamos uma propriedade da divisão:

Multiplicar o dividendo e o divisor por um mesmo número, não altera o quociente.

Exemplos:

4,2 : 0,7 = 6

Multiplicamos os dois números por 10, isto é, deslocamos a vírgula para direita, ficando dessa forma:

42 : 7 = 6

Agora vamos ver um modo bastante prático para efetuar as divisões com decimais.

Vejamos a divisão : 3,2 : 0,25

1º] Igualamos o número de casas decimais dos dois números.(acrescentando zeros)

3,20 : 0,25

 2º] Eliminamos as vírgulas e os zeros à esquerda

       
   3º] Efetuamos a divisão

Vejamos outro exemplo : 0,48 : 0,002

IMPORTANTE!!!

 “Zeros” no final da escrita decimal não alteram o valor do número representado.

Por exemplo: 0,100 = 0,1 , porque a diferença entre as duas escritas é zero centésimo e zero milésimo, que aparecem em 0,100, ou seja, nenhuma diferença. Outros exemplos 1 = 1,0 = 1,00 = 1,0000....

 1,2 = 1,20 = 1,200......

Comparando números decimais

Compare números decimais começando pela parte inteira. Depois compare os décimos, centésimos, etc.

Assim 15, 148 < 15,16 (15, 148 é menor que 15,16).

As partes inteiras são iguais (15), os décimos são iguais, mas o primeiro número tem 4 centésimos e o segundo tem 6 centésimos.

Compare os números decimais abaixo:

a)      0,2 e 0,02; observe que 2 no primeiro é 2 décimos, enquanto que no segundo, não existe décimo, pois é zero, então: 0,2 > 0,02. (maior)

b)      0,025 e 0,25, observe que na ordem dos décimos no primeiro é zero, enquanto que no segundo é 2, então: 0,025 > 0,25 (maior)

PROBLEMAS COM NÚMEROS DECIMAIS (Procure resolver as questões seguintes)

1) Tome 2,5 e dele subtraia 1,25. Multiplique o resultado por 0,82.

2 ) Multiplique 5,2 por 2,4. Do resultado subtraia 10,628.

3) Adicione 1,96 com 3,7. O resultado multiplique por 0,07. 

Lista de exercícios sobre problemas com frações

Exercício 1. Para uma festa foram encomendados 750 docinhos, sendo  de beijinhos. Quantos beijinhos foram encomendados para a festa?

Exercício 2. Eduarda paga 600 reais de aluguel, o que corresponde a  do seu salário mensal. Quanto Eduarda ganha por mês?

Exercício 3. Uma encomenda levará 28 dias para ser entregue. Se já se passaram  do número de dias, quantos dias ainda faltam para a entrega da encomenda?

Exercício 4. Em uma empresa há um departamento com 6 funcionários casados. Esses funcionários representam  do total de funcionários do departamento. Quantos funcionários há nesse departamento?

Exercício 5. Um estádio de futebol tem capacidade máxima de 45.000 pessoas. Esse número corresponde a  da população de uma cidade. Quantos habitantes tem nessa cidade?

Gabarito

Respostas do exercício 1

Queremos saber quanto é  de 750. Para isso, vamos dividir 750 em 3 partes iguais:

                                        750 : 3 = 250

Então,  de 750 é igual a 250. Logo, foram encomendados 250 beijinhos.

Respostas do exercício 2

Se  do salário corresponde a 600 reais, significa que o salário dividido em 5 partes iguais é igual a 600:

salário : 5 = 600

Então, para saber o salário, basta multiplicar 600 por 5:

600 × 5 = 3000

Portanto, Eduarda ganha 3.000 reais por mês.

Respostas do exercício 3

Para saber quantos dias faltam, primeiro, precisamos saber quantos dias já se passaram.

Isso significa saber quanto é  de 28.

Mas, primeiro, vamos descobrir quanto é  de 28:

28 : 7 = 4

Agora, basta multiplicar esse resultado por 5, para saber quanto é  de 28.

4 × 5 = 20

Portanto, já se passaram 20 dias. Como 28 – 20 = 8, então, faltam 8 dias para a encomenda ser entregue.

Respostas do exercício 4

Sabemos que  é igual a 6 funcionários e queremos descobrir o total de funcionários. Para isso, vamos descobrir, primeiro, quanto é :

6 : 3 = 2

Logo,  é igual a 2 funcionários. Isso significa que o total de funcionários dividido por 8 é igual a 2:

total de funcionários : 8 = 2

Então, para saber o total de funcionários, basta multiplicar 8 por 2:

 8 × 2 = 16

Portanto, há 16 funcionários no departamento.

Respostas do exercício 5

Sabemos que  é igual a 45.000 habitantes e queremos descobrir o total de habitantes. Para isso, vamos descobrir, primeiro, quanto é :

45000 : 9 = 5000

Então,  é igual a 5000 habitantes. Isso significa que o total de habitantes dividido por 10 é igual a 5000:

total de habitantes : 10 = 5000

Então, para saber o total de funcionários, basta multiplicar 5000 por 10:

5000 × 10 = 50000

Portanto, tem um total de 5.000 habitantes na cidade.

Continue aprendendo

1) Determine 2/3 de R$ 1200,00

2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons.

3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto medem 3/7 dessa peça ?

4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros percorreu?

5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4 . Quantos quilômetros já foram percorridos?

6) Um livro tem 240 páginas. Você estudou 5/6 do livro. Quantas páginas você estudou?

7) De um total de 240 pessoas, 1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol?

8) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus?

9) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele acertou?

10) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe?

11) Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem 3/4 dessa quantidade. Quantas fichas tem o meu irmão ?

12) Se 2/3 dos 42 alunos de uma sala usam óculos, calcule o número de alunos que não usam óculos.

13) Em um colégio há 1240 alunos. Em um certo dia, 1/8 dos alunos foi ao teatro. Qual o número de alunos que foram ao teatro? Quantos alunos ficaram na escola?

14) Um automóvel tem um tanque com capacidade para 64 litros de gasolina. O ponteiro do marcador de combustível está indicando 3/4 do tanque. Quantos litros de gasolina há no tanque? Quantos litros faltam para completar o tanque?

15) A distância entre duas cidades é de 540 km. Um carro já percorreu 5/9 dessa distância. Quantos quilômetros o carro já percorreu? Quantos quilômetros ainda faltam para chegar?

Respostas:

1) 800 reais
2) 32 bombons
3) 18m
4) 360 Km
5) 54 km
6) 200 páginas
7) 210 pessoas
8) 400 Km
9) 30 questões
10) 18 meninos
11) 45 fichas
12) 14 alunos
13) 155 alunos foram ao teatro e 1085 alunos não foram
14) 48 L
15)300 KM JÁ percorridos e 240 Km ainda faltam.

EXERCÍCIOS SOBRE OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

1) Qual é o resultado da expressão numérica abaixo?

41,32 + 56,4 – 81,932 + 5

a) 102,72

b) 20,8

c) 20,7

d) 20

e) 20,788

RESPOSTA

Começaremos pelas somas. Colocando vírgula debaixo de vírgula e completando os espaços vazios possíveis com zero, teremos:

41,320
56,400
+ 5,000
102,720

Agora basta subtrair 81,932 desse resultado, seguindo o mesmo princípio de vírgula debaixo de vírgula:

102,720
– 81,932
20,788

Gabarito: Letra E.

2) Qual é a área de um retângulo cuja largura mede 23,32 m e o comprimento mede 52,25 m?

a) 1217,99 m²

b) 1218,47 m²

c) 1219,01 m²

d) 1567,5 m²

e) 1045,0 m²

RESPOSTA

A área do retângulo é o produto de sua base pela sua altura, o que também pode ser interpretado como produto da largura pelo comprimento. Observe:

   52,25
x 23,32
  10450
15675 
15675     
+ 10450            
1218,4700  

Gabarito: Letra B.

3) Uma empresa utiliza um índice de massa corporal inventado por ela própria, no qual divide por dois a soma entre altura e peso dos funcionários. Qual é o índice de massa corporal de Rhuan, sabendo que sua altura é 1,78 m e seu peso é 72,3 kg?

a) 74,08

b) 31,15

c) 37,04

d) 37,4

e) 37

RESPOSTA

Basta somar altura e peso e dividir o resultado por 2. Observe:

a) 1,78 + 72,30 = 74,08, pois:

  72,30
 + 1,78
  74,08

b) 74,08/2 = 37,04, pois:

74,08 |   2     
 74,08 |   2,00 

  7408 |    200  
-600     37,04 
1408           
-1400            
800   
-800    
0

Logo, o índice de massa corporal de Rhuan, conforme os métodos da empresa, é de 37,04.

Gabarito: Letra C.

4) Em um feirão, Juarez aproveitou as promoções e comprou sete agendas, que custaram R$ 1,32; 4 canetas, que custaram R$ 0,26; e 45 lapiseiras a R$ 1,22. Qual é o troco de Juarez, sabendo que ele levou apenas uma nota de R$ 100,00?

a) R$ 34,82

b) R$ 65,18

c) R$ 83,62

d) R$ 49,80

e) R$ 51,50

RESPOSTA

Em primeiro lugar, montaremos a expressão numérica que indicará o troco (T) de Juarez:

T = 100,00 – (7 · 1,32 + 4 · 0,26 + 45 · 1,22)

Resolveremos cada multiplicação separadamente e, depois, substituiremos na expressão acima:

1) 7 · 1,32:

1,32
 x 7
9,24

2) 4 · 0,26:

0,26
 x 4
1,04

3) 45 · 1,22:

1,22
x 45
610
+ 488       
54,90 

A expressão definida por T, que representa o troco, pode ser reescrita da seguinte maneira:

T = 100,00 – (9,24 + 1,04 + 54,90)

Para terminar o exercício, somamos os valores positivos e subtraímos de R$ 100,00. Observe:

54,90
   9,24
+ 1,04
 65,18

 100,00
– 65,18
   34,82

Gabarito: Letra A.

ASSISTA AOS VÍDEOS DE FIXAÇÃO ABAIXO

NÚMEROS FRACIONÁRIOS

NÚMEROS DECIMAIS

BONS ESTUDOS!!!