NÚMEROS NATURAIS, HISTÓRICO E OPERAÇÕES

 

    HISTÓRICO

    Como surgiram os números

O homem primitivo utilizava a contagem.

Você já parou para pensar nisso? Será que os números surgiram da invenção de um matemático?

O número surgiu a partir do momento em que existiu a necessidade de contar objetos e coisas e isso aconteceu há mais de 30.000 anos. Os homens nessa época viviam em cavernas e grutas e não existia a ideia de números, mas eles tinham a necessidade de contar. Assim, quando os homens iam pescar ou caçar levavam consigo pedaços de ossos ou de madeira. Para cada animal ou fruto capturado, o homem fazia no osso ou no pedaço de madeira um risco.

Com a evolução do homem, que deixando de ser nômade fixou-se em um só lugar, esse passou a praticar não somente a caça e a coleta de frutos, mas também o cultivo de plantas e a criação de animais. A partir daí surgiu a necessidade de uma nova forma de contagem, pois o homem precisava controlar o seu rebanho.

Passou-se, então, a utilizar pedras: cada animal representava uma. Mas como isso era feito? Para cada animal que ia pastar, uma pedra era colocada dentro de um saco. Ao final do dia, para cada animal que entrava no cercado, uma pedra era retirada. Assim, era possível manter o controle e saber se algum animal havia sido comido por outro animal selvagem ou apenas se perdido.

Com a evolução do homem e da matemática, surgiu a palavra cálculo, que em latim significa “contas com pedras”.

Os Números Naturais

1. Conceito – É a sequência infinita de todos os números, à partir do algarismo zero.
2. Representação – Esse conjunto é nomeado pela letra  e seus números podem ser escritos entre chaves, da seguinte maneira:

4.                  Antecessor – É o número que está localizado imediatamente à esquerda de um número em questão.

5.                   Sucessor – É o número que está localizado imediatamente à direita de um número em questão.

Exemplificações:

1) Indique o antecessor e o sucessor de:

    a)      1 → antecessor 0     → sucessor 3

    b)      Zero  → antecessor não existe   → sucessor 1

    c)       12    → antecessor 11     → sucessor 13

    d)      99

    e)     999

    f)       501

    6.       Situações que envolvem números naturais no cotidiano:

6.1 – Usando balanças

•       Paulo tem 18 bolinhas de gude que deveriam ser todas iguais, e com o mesmo “peso” que as demais.

•       Se Paulo usar uma balança com dois pratos, como deverá proceder para encontrar a bolinha mais “pesada”?

•       Qual o menor número de “pesagens” que ele poderá fazer?

6.2 – Organizando informações:

•       Francisco que estuda na Escola do Futuro, observou que na sua classe (5ª série A/6° ano A), havia 5 alunos aniversariando no mês de março.

•       Francisco pesquisou na escola toda, em todos os turnos, a data de aniversário dos alunos.

•       Francisco elaborou uma tabela com os dados coletados:

              Tabela de Dados

MÊMÊS	Nº DE ALUNOS
JANEIRO	15
FEVEREIRO	09
MARÇO	23
ABRIL	48
MAIO	52
JUNHO	18
JULHO	31
AGOSTO	42
SETEMBRO	60
OUTUBRO	30
NOVEMBRO	25
DEZEMBRO	30

• ·         Quantos alunos há na escola em que Francisco estuda?

•      Qual é o mês que há mais aniversariante nesta escola? E o mês que há menos?

•      Quais são os meses que possuem mesmo número de aniversariantes?

•      Nos três meses que não há aulas, qual é o número de aniversariantes?

6.3.1        – Organizando os dados coletados

 

6.4  – interpretação gráfica

•      Observe o gráfico abaixo que, representa a média dos dias de sol por mês de uma cidade dos EUA e, responda as seguintes perguntas:

1. Qual o mês em que fez sol em 50% dos dias?
2. Em que mês o sol apareceu em apenas 8 dias?
3. Uma pessoa que não gosta de dias nublados ou chuvosos deveria escolher que mês para visitas esta cidade?

    4.      Se você tivesse que escolher esta cidade para passear, que mês você escolheria? Por quê?

7. Operações com Números Naturais

Adição – É a operação matemática que consiste na ideia de juntar ou acrescentar, uma determinada quantidade a outra. Usando o sinal (+), que representa a soma entre dois ou mais números. Assim temos:

•        a + b = c , onde: a e b, são as parcelas e c, que é o resultado é a soma ou total.

•       a + b = c → São letras, mas na matemática essas letras representam números.

•       Ex. Resolva a operação indicada, identificando seus elementos:

a)      58 + 27                                                                  c) 46 + 39

b)      17 + 39                                                                  d) 104 + 1473

OBS: a adição é a operação inversa da subtração
a) 7 + 3 = 10 ↔ 10 – 3 = 7                                                        

b) 12 + 5 = 17 ↔ 17 – 5 = 12

•       Resolução de problemas

1. Fernanda estuda na 5ª série B. em sua escola há 470 meninos e 593 meninas. Qual é o total de alunos da escola de Fernanda?

4 7 0

5 9 3 +

        1 0 6 3

2. Se forem matriculados 137 novos alunos nessa escola, qual é o novo total de alunos dessa escola?

    3. Quantas meninas tem a mais que meninos nessa escola? 

 

7.1 – Propriedades da adição

7.1.1 - Comutativa. a + b = b + a ↔ A ordem das parcelas não altera a soma (TOTAL)

a)      17 + 12 = 12 + 17                                          c) 10 + 12 = 12 + 10

b)      23 + 45 = 45 + 23                                          d) 35 + 25 = 25 + 35

7.1.2 – Associativa. ( a + b ) + c = a + ( b + c) ↔ Podemos associar de maneiras diferentes as parcelas que o total não altera-se.

a) ( 12 + 8 ) + 5 = 12 + ( 8 + 5 )              c) 2 + ( 4 + 6) = ( 2 + 4 ) + 6

b) 7 + ( 12 + 3 ) = ( 7 + 12 ) + 3              d) ( 2 + 3 ) + 5 = 2 + ( 3 + 5)

7.1.3 – Elemento neutro. A + 0 = 0 + a ↔ O zero é o elemento neutro da adição, isto porque, ele não altera a outra parcela e em consequência o total permanece o mesmo.

a)      4 + 0 = 0 + 4                                                      c) 34 + 0 = 0 + 34

b)      12 + 0 = 0 + 12                                                  d) 0 + 28 = 28 + 0

7.1.4 – Fechamento. Na adição de dois ou mais números sempre haverá resultado.

8. Subtração – É a operação matemática que consiste em tirar, retirar, comparar e ou completar determinadas quantidades, assim tem-se: 

a – b = c, onde a  é o minuendo; b é o subtraendo e c é a diferença.

1.Resolva as operações, indicando cada um de seus elementos:
a) 12 – 7                                                                           c) 25 - 17

b) 7 – 4                                                                             d) 105 – 48

8.1 – Resolução de problemas 

1. Em um dia de aula, faltaram 49 alunos, na escola onde Fernanda estuda. Quantos alunos compareceram às aulas?

R: Compareceram 1014 alunos às aulas.

2. Quantos alunos faltam que essa escola tenha 1300 alunos?

 

3. Qual é a diferença entre o número de meninas e meninos nessa escola?

 

8.2 – Propriedades ↔ Não existem as propriedades: comutativa; associativa; elemento neutro e nem fechamento na subtração.

9. Multiplicação – É a operação matemática usada quando precisamos somar muitas vezes o mesmo número (parcelas).

A multiplicação é a operação inversa da divisão.

Na multiplicação, temos: a x b = c, onde a e b são os fatores; c que é o resultado chama-se produto.

1. Resolva as operações abaixo, identificando os elementos:

a)      12 X 10                                                                        c) 15 x 13

b)      9 X 8                                                                        d) 126 X 245

OBS. Nas multiplicações por 2, 3, 4, 5 e 6, usamos nomes especiais:

Expressão      →	Significado (exemplo)
Dobro de       →	Dobro de 15 é 30
Triplo de       →	Triplo de 15 é 45
Quadruplo de   →	Quadruplo de  15 é 60
Quíntuplo de    →	Quíntuplo de 15 é 75
Sêxtuplo de        →	Sêxtuplo de 15 é 90

OBS. O sinal da multiplicação é o X, daqui em diante daremos preferência ao ponto ( ∙ ).

a)      5 X 3 = 5 . 3 = 15                                           c) 7 X 9 = 7 . 9 = 63

b)      10  X 12 = 10 . 12 = 120                                d) 8 X 6 = 8 . 6 = 48

OBS. Termos que representam uma multiplicação: fatores, produto, dobro, triplo, etc. Isto é, falou nesses termos, temos que relacionar a multiplicação.

9.1 – Resolução de problemas

1. Uma classe da 5ª série/6° ano tem 28 alunos. Cada aluno teve que comprar um estojo de lápis de cores com 12 lápis cada, assim, quantos lápis há no total?

 

2. Uma moça possui 6 saias e 8 blusas, assim de quantos modos diferentes ela pode combinar essas vertes?

 

3. Na geleira “Rainha do Mar”, são comprados peixes de diversas espécies por 8,00 cada kg. Um pescador que vender 48 kg de peixes. Quanto ele receberá?

 

4. Na Lanchonete “Sabor Doce”, são vendidos bombons em pacotes com 5 unidades a R$ 4,00 ou em caixas com 12 unidades que custam R$ 9,00. Em qual opção paga-se menos?

 

9.2 – Propriedades

9.2.1 – Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto, a . b = b . a

a) 2 . 5 = 5 . 2                                                            c) 12 . 5 = 5 . 12

b) 10 . 6 = 6 . 10                                                        d) 15 . 2 = 2 . 15

9.2.2 – Associativa ↔ Podemos associar os fatores de diversas maneiras que o produto não se altera. ( a . b ) . c = a . ( b . c ).

a)      2 . ( 5 . 3 ) = ( 2 . 5 ) . 3                                                                 

c) 10 . ( 2 . 5 ) = ( 10 . 2 ) . 5

b)      3 . ( 4 . 6 ) = ( 3 . 4 ) . 6                                                                 

d) ( 7 . 6 ) . 4 = 7 . ( 6 ) .4

9.2.3 – Elemento Neutro ↔ O algarismo 1 é o elemento neutro da multiplicação; a . 1 =1 . a

a)  5 . 1 = 1 . 5                                                                c) 15 . 1 = 1. 15

b) 12 . 1 = 1. 12                                                              d) 1 . 8 = 8 . 1

9.2.4 – Distributiva ↔ Consiste em distribuir um determinado número em parcelas, para se efetuar o produto.

a)      10 . 17 = ( 10 . 10 ) + (10 . 7 )                                                       

c) 18 . 7 = ( 18 . 5 ) + ( 18 . 2 )

b)      13 . 15 = (13 . 10 ) + ( 13 . 5 )                                       

d) 15 . 6 = ( 15 . 5 ) + ( 15 . 1 )

9.2.5 – Fechamento ↔  N a multiplicação de naturais sempre haverá resultado.

OBS. Na multiplicação por 10; 100; ou 1000, basta conservarmos o fator diferente, seguido de quantos zeros tiver o outro fator.

OBS. A multiplicação de qualquer número por zero, sempre é zero.

OBS. A divisão é a operação inversa da multiplicação.

10. Divisão – É a operação matemática que implica na ideia de verificar quantas vezes uma determinada quantidade figura em outra. Na divisão, temos: o dividendo, divisor, quociente e o resto.

 D →dividendo  /  d  →divisor  /  Q →quociente  /  r →resto

•       A divisão também é escrita da seguinte forma; D : d = q, 

onde d ≠ 0, para que a divisão Não se torne sem sentido.

•       A divisão é chamada de exata, quando o resto é zero e não exata quando o resto é diferente de zero.

•       A divisão não possui as propriedades existentes na multiplicação e nem as da adição.

•       Na divisão é verificada a seguinte igualdade:

                       D = d . q + r

•       A divisão é identificada com os seguintes termos: 

Quociente, divisor, resto e razão.

10.1 – OBSERVAÇÕESGERAIS:
1. O divisor sempre deve ser diferente de zero; d ≠ 0

2. Se D = 0 e o d ≠ 0,então Q = 0

3. Se D = d, então Q =1

4. Se D = 1 e d = 1, então Q = D

5. Na divisão não exata ↔ r < d

Resolução de Problemas Matemáticos

Os problemas matemáticos são responsáveis pelas inúmeras dúvidas presentes entre os alunos. A grande questão é relacionar as informações fornecidas com os símbolos matemáticos, adequados para a solução dos problemas. O aluno precisa entender a situação, identificando a operação mais adequada para a resolução, e isso depende de uma leitura segura e de um processo interpretativo. Através de exemplos, demonstraremos como realizar essa leitura interpretativa, selecionando as palavras-chave, bem como utilizando as operações adequadas.

Exemplo 1

Carlos comprou uma televisão no valor de R$ 950,00, dividida em 10 prestações iguais. Ao pagar a 4º prestação, recebeu de presente de seu avô, o restante do dinheiro para a quitação do aparelho. Quanto Carlos recebeu?

O valor do aparelho é igual a R$ 950,00.

Carlos resolveu dividir o televisor em 10 prestações iguais, então devemos realizar uma operação de divisão: 950 : 10 = 95 reais.

Carlos efetuou o pagamento de 4 prestações, dessa forma, ainda faltam 6. São as prestações restantes que o avô de Carlos resolveu pagar. Portanto, 95 X 6 = 570 reais.
Carlos recebeu R$ 570,00 de seu avô.

Exemplo 2
João tinha uma quantia, gastou 35% e ainda ficou com R$ 97,50. Qual o valor que João tinha inicialmente?

Quando trabalhamos com porcentagem, sempre precisamos nos lembrar de que o valor corresponde a 100%. Dos 100%, João gastou 35%, então: 100% – 35% = 65%.

Os 65% restante, correspondem a R$ 97,50. Dessa forma, temos que:

João tinha o valor inicial de R$ 150,00.

Exemplo 3

O preço de uma geladeira, à vista, é R$ 1 200,00. No pagamento em três prestações ocorre um acréscimo de 10% de juros. Qual será o valor da prestação no pagamento parcelado?

Veja que no pagamento parcelado, o preço da televisão aumenta de acordo com o juro de 10%. Vamos calcular 10% do valor à vista da geladeira:



A geladeira sofrerá um aumento de R$ 120,00 R$ 1.200,00 + R$ 120,00 = R$ 1320,00

O preço final para o financiamento é de R$ 1 320,00, que será dividido em três prestações:

1 320 : 3 = 440 reais.
Na compra da geladeira a prazo, o valor de cada prestação será de R$ 440,00.

Exemplo 4
O dobro de um número adicionado ao seu triplo, é igual ao próprio número adicionado a 168. Qual é o número?
Como você não conhece o número, deverá representá-lo por “x”.

Dobro de x = 2 . x = 2x
Triplo de x = 3 . x = 3x

2x + 3x = x + 168
2x + 3x – x = 168
4x = 168
x = 168/4
x = 42
O número procurado é o 42.

EXPRESSÕES NUMÉRICAS/RESOLUÇÕES

Conhecemos como expressões numéricas um conjunto de operações fundamentais a serem calculadas. São operações fundamentais:

• adição
• subtração
• multiplicação
• divisão
• potenciação 
• radiciação

Expressões numéricas são bastante comuns no dia a dia, pois, em muitos problemas, há a necessidade de se calcular o valor de uma expressão numérica. Além das operações, uma expressão numérica pode conter símbolos que mostram a ordem de prioridade, são eles:

• parênteses ( )
• colchetes [ ]
• chaves { }

Ordem das operações

A expressão numérica é um conjunto de números e as operações fundamentais entre eles.

Na resolução de expressões numéricas, é bastante comum ter dúvida sobre qual operação devemos realizar primeiro, para isso, é necessário entender a ordem correta a ser seguida. Primeiramente sempre vamos começar por radiciação e potenciação. Caso apareçam essas duas operações ao mesmo tempo dentro de uma mesma expressão algébrica, calculamo-las na ordem em que aparecerem. 

Encontrando todas as potências e todos os radicais, as próximas operações em ordem de prioridade são a multiplicação e a divisão. Da mesma forma, operações com mesmo grau de prioridade são sempre calculadas na ordem em que aparecem, o que acontece com a multiplicação e a divisão.

Na ausência de multiplicação e divisão na expressão numérica, calculamos, então, a adição e a subtração dos termos. Caso exista as duas operações, calculamo-las na ordem em que aparecerem até encontrarmos um resultado final.

Exemplo:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

Primeiramente calcularemos a radiciação e a potenciação:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

Como não há mais nenhuma potenciação nem radiciação, calcularemos a multiplicação e a divisão:

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

5 + 6 – 2  – 1 + 9

Agora realizaremos as adições e subtrações na ordem em que elas parecem:

5 + 6 – 2 – 1 + 9

11 – 2 – 1 + 9

9  – 1 + 9

 8 + 9

17

Uso dos símbolos nas expressões numéricas

Além das operações em si, é bastante comum também a utilização de símbolos para mostrar a ordem de prioridade em que devemos fazê-las. São eles os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }.

Nesse caso precisamos nos atentar, primeiro, à ordem de prioridade desses símbolos para, depois, atentar-nos à ordem de prioridade das operações que estão entre esses símbolos. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo:

• primeiro, as operações que estão dentro do parêntese;
• depois, as operações que estão entre colchetes; 
• por fim, as operações que estão entre chaves.

Operações que estão sendo realizadas entre parênteses, por exemplo, respeitam sempre a ordem das operações, então, ao resolver uma expressão numérica, buscamos eliminar os parênteses, depois os colchetes, e por fim as chaves, nessa ordem.

Passo a passo para resolver expressões numéricas

Exemplo:

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

Para calcular a expressão quando ela possui símbolos, começamos sempre resolvendo as operações que estão dentro do parêntese.

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

Agora que não há nenhuma operação entre parênteses, vamos buscar eliminar os colchetes. Dentro deles, é importante respeitar a ordem de prioridade das operações, começando, então, nesse caso, pela radiciação.

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

Ainda com o objetivo de eliminar o colchete, realizaremos agora a divisão, já que ela possui prioridade em relação à adição e subtração.

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

Para eliminar o colchete, calcularemos as adições e a subtração, na ordem em que essas operações aparecem.

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

{[5 – 2 + 9] : 4}²

{[3 + 9] : 4}²

{12 : 4}²

Agora que eliminamos o parêntese, por fim, vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos calcular a divisão:

{12 : 4}²

3²

Por fim, só nos resta calcular a potência:

3²

9

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual é o resultado da expressão: 

20 ÷ {√4 · [-9 + 17 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13

Resolução

Alternativa E

Primeiro vamos eliminar o parêntese:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

Agora eliminaremos os colchetes:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · 5} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · 5} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · 5} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · 5} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · 5} – [-11]

20 ÷ {√4 · 5} + 11

Agora eliminaremos as chaves, respeitando a ordem de prioridade entre as operações:

20 ÷ {√4 · 5} + 11

20 ÷ {2 · 5} + 11

20 ÷ {2 · 5} + 11

20 ÷ 10 + 11

Eliminando todos os símbolos, realizaremos, primeiro, a divisão e, depois, a adição:

20 ÷ 10 + 11

2 + 11

13

Questão 2 – Analisando as expressões:

I. [8 : (8 × (-2) + 18)] – √16
II. [8 × (9 : 3 + 1)] + 2
III. {3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5

As expressões que têm como resultado zero são:

A) I, II e III
B) somente I e II
C) somente I e III
D) somente II e III
E) Nenhuma delas

Resolução

Alternativa C

Resolvendo cada uma delas, temos que:

I.

[8 : (8 × (-2) + 18)] – √16
[8 : (-16 + 18)] – √16
[8 : 2] – √16
4 – √16
4 – 4
0

II.

[8 × (9 : 3 + 1)] + 2
[8 × (3 + 1)] + 2
[8 × 4] + 2
32 + 2
34

III.

{3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5
{3² – [4 + (3 – 3)²]} – 5
{3² – [4 + 0²]} – 5
{3² – [4 + 0]} – 5
{3² – 4} – 5
{9 – 4} – 5
5 – 5
0